PROCRASTINATION NOCTURNE DU 23 JUIN 2020

Réfléchir la probabilité qu’un type de dé donné ait été utilisé à partir du résultat du jet de dé.
-ou-
Utilité et limite de l’inférence d’une cause à partir d’un résultat donné.

Je parle souvent avec Jéjé (mon ancien coloc) de truc intéressant genre :

  • Qu’est-ce que les sentiments?
  • Pourquoi on sait des choses?
  • Comment être une meilleure personne?

Cet après-midi, pendant que nous mangions un pad thaï (lui un pad sew), il m’a parlé d’un vidéo YouTube sur le cerveau bayésien et sur la manière de calculer des probabilités suite à un lancer de dé.

En gros, il proposait l’affirmation suivante :

« Si dans une game de Dungeon et dragon, le Maitre de jeu lance un dé, sans te dire le type de dé en question, et qu’il te dit que tu as mangé 7 de dommage, tu peux déduire qu’il a brassé un dé à 8 faces, puisque c’est le résultat le plus probable. »

Ma première réaction a été de me dire qu’il y avait quelque chose d’erroné dans le processus, ça semblait trop instinctivement simple pour être correct. Puis, ça m’a couru dans la tête pendant la soirée et j’ai réalisé que c’était vrai.

Avant d’aller plus loin, posons d’abord les règles de l’expérience de pensée :

Le maitre de jeu choisit aléatoirement dé dans sa poche de dé

Cette poche contient un dé à 4 faces, 6 faces, 8 faces, 10 faces, 12 faces et 20 faces.

Chaque dé est numéroté selon son nombre de face (c.-à-d. un dé à 4 faces est numéroté de 1 à 4, et un dé à 20 faces est numéroté de 1 à 20).

Il lance le dé derrière un paravent et annonce à voix haute le numéro.

Le joueur tente de deviner le dé qui a été lancé.

D’entrée de jeu, si le maitre de jeu annonce un 7, on peut savoir qu’il n’a pas lancé un dé à 4 ou 6 faces, ce résultat étant impossible avec ces dés. Cela étant dit, peut-on en savoir plus?

Ce qui est étrange, c’est qu’on se retrouve avec un phénomène de double probabilité et qu’il faut se prononcer sur la seconde (le nombre roulé sur le dé) alors que la première (le type de dé sélectionné) demeure partiellement indéterminée.

Cela dit, si on prend le temps d’y penser, on finit par comprendre pourquoi.

Posons d’abord les deux hasards pertinents à l’évaluation du jeu :

  1. La possibilité du dé lancé par le maitre de jeu (chaque dé ayant 1 chance sur 6 d’être sélectionnée [16.66%])
  2. En fonction du dé pigé, chaque face à une probabilité équivalente à 1/n de ressortir, où n représente le nombre de face.

On peut donc poser pour chaque dé la table de probabilité suivante :

Type de déDé 4Dé 6Dé 8Dé 10Dé 12Dé 20
Résultat possible1, 2, 3, 41, 2, 3, 4, 5, 61, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Probabilité que chaque résultat advienne25%16.66%12.5%10%8.33%5%

On peut dès lors déterminer la probabilité que chacun des résultats se produise en additionnant le produit des probabilités que chaque résultat advienne en fonction d’un dé donné.

Par exemple, le nombre 2 sera le résultat dans :

  • 25% des cas où le dé 4 est pigé (0.25 x 0.1666)
  • 16.66% des cas où le dé 6 est pigé (0.1666 x 0.1666)
  • 12.5% des cas où le dé 8 est pigé (0.125 x 0.1666)
  • 10% des cas où le dé 10 est pigé (0.1 x 0.1666)
  • 8.33% des cas où le dé 12 est pigé (0.0833 x 0.1666)
  • 5% des cas où le dé 20 est pigé (0.05 x 0.1666)

Donc, bien que le nombre 2 représente un résultat possible sur 20 (donc 5% des résultats possibles), la probabilité qu’il soit le résultat annoncé à la fin d’une partie est de 12.9%.

Le tableau suivant représente la probabilité pour un résultat donné d’être annoncé par un maitre de jeu à chaque partie:

Résultat1 à 45 et 67 et 89 et 1011 et 1213 à 20
Probabilité12.9%8.9%6%3.9%2.2%0.8%

Un regard vers les colonnes « 13 à 20 » et « 11 et 12 » nous donne déjà un indice important pour amorcer la deuxième étape de notre procrastination. On peut constater un bond important dans la probabilité qu’un résultat advienne qui ne semble pas proportionnel à l’augmentation de la probabilité que sa cause advienne (c.-à-d. qu’il y a plus de dés qui peuvent produire le résultat).

En effet, plutôt que de doubler (passant de 0.8% à 1.6%), la probabilité qu’un résultat advienne est presque triplée en effectuant un bond de 1.4% de probabilité d’advenir.

Comment se fait-il que la probabilité d’un résultat triple, alors que de l’autre côté, on ne fait que doubler la probabilité que sa cause existe?

Pour répondre à cette question, il faut se rappeler que, bien que chaque dé (cause) ait une probabilité égale d’être pigé dans le sac de dés (1/6), une fois ce choix fait, chaque dé (cause) a des probabilités différentes de produire un résultat particulier.

Ainsi, si le maitre de jeu annonce un résultat de 11, bien que:

  1. Les dés 12 et 20 aient autant de chance d’être l’élément causal sélectionné en début de la partie, et
  2. Ces 2 dés puissent produire un résultat de 11,

Il demeure que dans 62.5% des circonstances où un résultat de 11 sera annoncé, ce sera parce qu’un dé à 12 faces aura été lancé. Cette situation s’explique du fait que toutes les causes d’un résultat n’ont pas nécessairement la même probabilité de produire ce même résultat. Par exemple, il est plus probable d’obtenir un 6 en lançant un dé à 6 faces qu’en roulant un dé à 20 faces.

Ce qui veut également dire que bien que tous les dés (causes) puissent « causer » un résultat de 3, il demeure qu’il est plus probable (32.3% de chance) que ce soit le dé à 4 faces qui l’ait produit, et ce, même si ce dé avait autant de probabilité d’être sélectionné que tous les autres dés pouvant donner un résultat de 4.

Les implications pour l’analyse causale en probabilité me semblent – intuitivement- être somme toute importantes, surtout en ce qui concerne la signification statistique.

À bien des égards, je ne crois pas que cette expérience de pensée remette en question – en ce moment – mon rapport aux probabilités comme outil utile d’appréhension du monde, mais je dois admettre qu’intuitivement, j’ai l’impression que c’est un exercice intéressant pour réfléchir comment identifier à l’aide des résultats d’une collecte de données, de potentiels biais d’échantillonnage.

Je ne m’aventurerais pas plus loin sur ces points, ma réflexion reste à développer et mon mémoire ne s’écrira pas tout seul (malheureusement).

Bien sûr tous ces calculs ne nous permettent pas d’avoir une certitude sur la cause (c.-à-d. la nature du dé lancé) à partir du résultat constaté (c.-à-d. le 4), mais on peut tout même constater que ce résultat rend plus probables certaines causes que d’autres, et ce, même si l’origine de la cause demeure incertaine. À bien des égards, j’ai l’impression qu’autant cette expérience permet de confirmer la pertinence des probabilités pour circonscrire le monde, autant elle met également en garde contre l’excès d’inférence par laquelle on serait tenté de déduire à l’aide d’un résultat une cause donnée sur la base que cette cause est la plus probable d’advenir. Si la loi des grands nombres nous permet de conclure qu’on gagne à long terme à parier qu’un résultat de 11 est le produit d’un dé 12, il demeure que pour un résultat ponctuel, les probabilités de se tromper demeurent significatives.

Il y a quelques choses qui me semble pouvoir être pensé quant aux interactions sociales que j’entretiens et la propension que j’ai parfois à conclure que d’autres personnes vivent des sentiments négatifs à mon endroit sur la base d’éléments implicites que je perçois, sans que les sentiments négatifs ne soient explicités. Par exemple, si j’ai construit l’image mentale qu’un tel regard voulait dire qu’une personne était en colère contre moi sur la base de résultats préalables, il demeure que ce pourrait-être, tout comme un résultat de 4 dans le jeu discuté ci-dessus, une situation où j’infère à tort, à l’aide d’un résultat, la probabilité qu’une cause soit avérée.

M’enfin, cela étant, si ma tête fait des liens entre mathématiques et relations interpersonnelles, je dois admettre que ma tête a beaucoup plus de difficulté à communiquer ces liens de manière qui me semble claire.

Cela étant dit, pour ceux et celles que ça intéresse, vous trouverez ci-dessous la plage de probabilité qu’un résultat soit expliqué par un dé donné dans le jeu décrit dans ce texte.

 Dé 4Dé 6Dé 8Dé 10Dé 12Dé 20
1 à 432.3%21.5%16.1%12.9%10.8%6.5%
5 et 60%31.7%23.8%19%15.9%9.5%
7 et 80%0%34.9%27.9%23.3%14%
9 et 100%0%0%42.9%35.7%21.4%
11 et 120%0%0%0%62.5%37.5%
13 à 200%0%0%0%0%100%
Probabilité qu’un résultat donné soit le produit d’un dé

Le vidéo dont Jéjé me parlait. (D’ailleurs, merci Jérôme pour la relecture!)

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